（作者简介：白寿彝（1909—2000），史学家、教育家、社会活动家，《光明日报》的创办者之一。著有《中国通史》、《史学概论》、《中国史学史》、《中国交通史》等书。）
一、《九章算术》的成书
中国古代数学名著《九章算术》，是我国最早的传世数学专著。《九章算术》与《周髀算经》一样，不是一人一时写成的。它经历了多次的整理、删补和增订，是几代数学家共同劳动的结晶。大约成书于东汉初年（公元一世纪）。《九章算术》采用问题集形式，列举了246个数学问题及其答案，并在若干具体问题之后，叙述这类问题的解题方法。全书分为下列九章：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。方田章是关于土地面积的计算，包括有正方形、矩形、三角形、梯形、圆、环等面积公式，以及弓形面积和球冠表面积的近似公式。后两个公式比较简单，但误差很大。刘徽在《九章算术注》中曾提出用类似割圆术的方法推求弓形面积，但未能给出更好的结果。在这一章中还有分数的四则运算法则和约分、通分、求最大公约数方法。在《九章》中，把最大公约数称为“等数”，求两个数的最大公约数要“以少减多，更相减损”，这种方法与欧几里得的辗转相除法是相同的，后来在解决一次同余组等问题上获得了更重要的应用。
二、《九章算术》在世界数学史上的贡献
完整的分数运算法则，在印度迟至七世纪才出现，而欧洲则更晚。粟米章主要讲各种粮食交易折算的比例问题。所用方法称为“今有术”，即在成比例的四个数中，从三个已知数求第四个数的算法。在欧洲，这种算法称为“三率法”。关于比与比例的思想，古希腊就已经有了，但把比例和三率法联系起来却是迟至十五世纪的事情。衰分章是比例分配问题，即按等级分配物资或按一定标准摊派税收。在这一章中还有等差数列和等比数列问题，但都用比例方法来解决。少广章讲的是已知正方形面积或正方体体积反求边长，即开平方和开立方的方法。其具体运算过程是世界上最早的关于开平方和开立方法则的记载。在运算中，要把算筹摆放几层，相当于用分离系数法列出与求解二次和三次方程，从而发展了筹算的位值制，并开辟了求解数字高次方程的途径。少广章中还有从已知球体积求直径的问题，给出一个误差很大的球体积公式。刘徽和祖氏父子在此基础上深入研究，终于获得了正确的结果。商功章主要是各种立体体积的计算。这些问题大都来源于营筑城垣、开凿沟渠、修造仓窖等土木和水利工程实际。其中包括长方体、棱柱、棱台、圆柱、圆锥、园台、楔形体等，都给出了正确的体积计算公式。缺点是圆周率取π＝３，这个数值误差很大。根据刘徽对商功章的注释可以知道，这些公式是通过具体模型的分解与合并来证明的，这说明中国古代的体积理论有很高的水平和不同于西方数学的独特的处理方法。均输章是平均赋粟和徭役问题，计算如何按人口多少、物价高低、路途远近等条件，合理摊派税收和民工等。包括正比、反比、复比例、连比例、等差级数等数学方法。盈不足章属于盈亏类问题和算法。盈不足术是通过两次假设取值，然后根据公式求出未知数，其原理与现在求高次代数方程和超越方程近似解的线性插值法是相同的。在中世纪欧洲，这种方法叫做“双设法”或“契丹算法”，是欧洲符号代数学产生以前的一种主要代数方法。据考证，古代阿拉伯数学文献里，
“契丹”一般指的是中国。因此，不少人认为，中国的盈不足术经阿拉伯传入欧洲，在西方数学领域起了重要的作用。方程章讲的是多元一次联立方程组（线性方程组）问题及解法。这是中国古代数学的一项重大成就。用算筹表示多元一次联立方程组，类似于由方程组各系数构成的矩阵，其解法与现在中学代数中的消元法基本相同。古希腊和印度也有过一些特殊的联立方程组解法，但没有一般解法，远不如方程章的算法完整。而在欧洲，提出同类问题要晚一千多年，直到十六世纪才有了加减消元法。在这一章中还引入了负数概念，并给出了正负数加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”负数的出现，反映出对意义相反数量的正确理解，从而实现了数的范围的一次新扩充。这一项杰出创造，也是以中国为最早。印度于七世纪引进负数概念。欧洲十二世纪对负数有所认识，而直到十六世纪才有比较深刻的理解，这一点甚至影响到线性方程组的求解问题。勾股章主要内容是勾股定理的应用和简单测量问题。其中包括勾股容方和勾股容圆问题，以及二次方程ｘ２＋ax＝b（ａ＞０，ｂ＞０）的解法。关于勾股数的原术及刘徽注中的有关公式，是对整数论的重要贡献，也是世界数学史上整数勾股数研究的较早成果之一。《九章算术》及其中一些问题曾经传到日本、朝鲜、越南、印度、阿拉伯和欧洲，对世界古代数学发展产生了相当大的影响。已被译成英、俄、德、日等多种文字。
三、数学家
秦汉时期曾涌现出一批数学家和有很高数学造诣的人。如许商、杜忠在当时都有数学专著行世。
东汉著名天文学家张衡（78—139）“善机巧，尤致力阴阳、天文、历算”，他所用的圆周率相当于π=10≈3.16，优于古圆周率π=3，是对这一课题较早的研究和改进。刘洪“善算，当世无偶”，曾创制《乾象历》，有的文献还记载他著有《九章算术》。马续“善《九章算术》”。郑玄（127—200）“少学书数，八九岁能下算乘除。年二十一，博极群书，兼精算术”，曾注释多种重要典籍。蔡邕（133—192），好辞章、数术、天文，“先治律历，以筹算为本，天文为验”。他已知道圆周率π=3.125，比古率有所改进。徐岳“素习《九章》，能为计数”。据载，著有《九章算术》、《算经要用百法》、《大衍算术注》、《数术记遗》等，实际上很可能是他对《九章算术》作过注释。另外，《数术记遗》一书现有传本，但也有人认为是伪托之作。以上这些人都是中国数学史上较早见于史籍记载的数学家和擅长数学的学者，遗憾的是由于史料缺乏，现尚难以对他们的数学成就做出详细的论述。
文章来源：白寿彝：《中国通史·第四卷·秦汉》，上海人民出版社，2004年版。
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